第一部分 选择题 (共28分)
一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
1.设行列式=m,=n,则行列式等于( )
A. m n B. -(m n)
C. n-m D. m-n
2.设矩阵A=,则A-1等于( )
A. B.
C. D.
3.设矩阵A=,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是( )
A. –6 B. 6
C. 2 D. –2
4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有( )
A. A =0 B. BC时A=0
C. A0时B=C D. |A|0时B=C
5.已知3�4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(AT)等于( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则( )
A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1 λ2α2 … λsαs=0和λ1β1 λ2β2 …λsβs=0
B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1 β1) λ2(α2 β2) … λs(αs βs)=0
C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1) λ2(α2-β2) … λs(αs-βs)=0
D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1 λ2α2 … λsαs=0和μ1β1 μ2β2 … μsβs=0
7.设矩阵A的秩为r,则A中( )
A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0
C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是( )
A.η1 η2是Ax=0的一个解 B.η1 η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解
9.设n阶方阵A不可逆,则必有( )
A.秩(A)<n B.秩(A)=n-1
C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解
10.设A是一个n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是( )
A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量
B.如存在数λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,则λ是A的特征值
C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量
D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关
11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有( )
A. k≤3 B. k<3
C. k=3 D. k>3
12.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是( )
A.|A|2必为1 B.|A|必为1
C.A-1=AT D.A的行(列)向量组是正交单位向量组
13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=CTAC.则( )
A.A与B相似
B. A与B不等价
C. A与B有相同的特征值
D. A与B合同
14.下列矩阵中是正定矩阵的为( )
A. B.
C. D.
第二部分 非选择题(共72分)
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。
15. .
16.设A=,B=.则A 2B= .
17.设A=(aij)3�3,|A|=2,Aij表示|A|中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,3),则(a11A21 a12A22 a13A23)2 (a21A21 a22A22 a23A23)2 (a31A21 a32A22 a33A23)2= .
18.设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a)线性相关,则a= .
19.设A是3�4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为 .
20.设A是m�n矩阵,A的秩为r(<n),则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .
21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α β与α-β的内积(α β,α-β)= .
22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为 .
23.设矩阵A=,已知α=是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 .
24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 .
三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分)
25.设A=,B=.求(1)ABT;(2)|4A|.
26.试计算行列式.
27.设矩阵A=,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A 2B.
28.给定向量组α1=,α2=,α3=,α4=.
试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合;若是,则求出组合系数。
29.设矩阵A=.
求:(1)秩(A);
(2)A的列向量组的一个最大线性无关组。
30.设矩阵A=的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D.
31.试用配方法化下列二次型为标准形
f(x1,x2,x3)=,
并写出所用的满秩线性变换。
四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)
32.设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆,且(E-A)-1=E A A2.
33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明
(1)η1=η0 ξ1,η2=η0 ξ2均是Ax=b的解;
(2)η0,η1,η2线性无关。
答案:
一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)
1.D 2.B 3.B 4.D 5.C
6.D 7.C 8.A 9.A 10.B